Vestibular ITA 2026. Prova de Matemática aplicada em 28/11/2025. Segunda Fase, prova discursiva.
Você deve saber:
O octaedro regular é um poliedro composto por oito (octa) faces definidas por triângulos equiláteros iguais. Ele possui 12 arestas e 6 vértices e pode ser interpretado como duas pirâmides simétricas e unidas pela base. Este poliedro tem vários eixos de simetria, como na base que une as pirâmides e em todas as arestas onde se encontram dos triângulos das faces.
O octaedro proposto pelo enunciado da questão é mostrado na figura a seguir. Observe que a base das pirâmides são unidas pela base que está sobre o plano 
, ou plano 
e é o quadrado 
.
A estratégia para a solução da questão é calcular os pontos que estão localizados em uma das pirâmides em 
ou 
, 
, aproveitando a simetria do octaedro. Em seguida, totalizar os pontos localizados no plano , 
. Por fim, o total de pontos do octaedro com coordenadas inteiras será 
, que é o dobro dos pontos de uma pirâmide somados aos pontos sobre o plano .
Os pontos da pirâmide serão obtidos seccionando-a para cada 
. por exemplo, Começaremos contabilizando os pontos de uma das pirâmides, conforme imagem a seguir. Iniciaremos no vértice 
, que possui somente um ponto.
Para totalizar a quantidade de pontos, devemos considerar que, a partir de para os valores de 
